2018 February 27

rsa加解密原理

RSA是目前使用最为广泛的公钥密码算法，公钥加密也称为非对称加密，与对称加密的最大区别在于加密与解密使用不同的密钥。

在RSA中，明文、密文和密钥都是数字，假设公钥用二元组(E,N)来表示，私钥用(D,N)来表示，其中E、D、N都是数字，那么加解密过程可表示如下：

密文 = 明文 ^ E mod N  (加密)
明文 = 密文 ^ D mod N  (解密)

可见，在RSA中，不论加密还是解密，都可归结为求x的y次幂对m取余问题。

生成RSA密钥可分成以下4步：

首先准备两个很大的质数p和q，那么N = p * q。

L = lcm(p-1, q-1)

由于存在恒等式gcd(a,b) * lcm(a,b) = a * b，求lcm可转换为求gcd，而求gcd可通过欧几里德算法在对数时间内算出。

E是一个比1大、比L小的数，且满足E与L互质，即有：gcd(E,L)=1, 1 < E < L。gcd(E,L)=1是为了保证后面要求的数字D一定存在。

可不断地生成[2,L-1]之间的随机数作为E的候选数，检查是否满足条件，直到找出符合要求的E为止。

至此，E和N都已求出，那么公钥(E,N)也就得到了。

数D是由数E计算得到的，D、E和L之间满足关系：E * D mod L = 1, 1 < D < L。

只要D满足上述条件，那么通过E与N加密的内容，就可通过D和N进行解密。

求D也可采用类似求E的方法，不断产生随机数去试，直到找出满足条件的D为止，这样私钥(D,N)也准备好了。

为方面说明，这里用较小的数计算。先准备两个质数，例如，p=17, q=19，那么N=17*19=323，L=lcd(16,18)=144。

满足gcd(E,L)=1的数很多，例如5,7,11,13,25等，这里取E=5。

满足E*D mod L = 1的数也很多，这里取D=29。

到这里，公私钥都有了，公钥为(5,323)，私钥为(29,323)，公钥可任意公开，私钥则保密。

明文必须是小于N的数，因为加密运算中要求mod N。假设明文是123，用公钥(5,323)对其加密：

密文 = 明文 ^ E mod N = 123 ^ 5 mod 323 = 225

再用私钥(29,323)对密文225进行解密：

明文= 密文 ^ D mod N = 225 ^ 29 mod 323 = 123

解出的明文与原始明文一致。